BAC _TSM _2007

MEPU-A                                                BACCALAURÉAT UNIQUE                SÉSSION : 2007

SNECSO

Profil : Sciences Mathématiques            Épreuve de : Maths                           Durée : 4 heures

A) 1. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, on a :

     2. a) Décomposer  469 en produits de facteurs premiers.

         b) Résoudre dans     l'équation : 

B) Dans une ville, il y a trois médecins. Quatre habitants de cette ville, malades le même jour, appellent au hasard

    l'un de ces trois médecins.

      1. Quelle est la probabilité pour que qu'un seul médecin soit appelé ?

      2. Quelle est la probabilité pour que les trois médecins soient appelés

C) Le repère     est orthonormé.

      Soit la fonction définie par :

         si  

      ,    si   

      1.a) Démontrer que f est continue et dérivable en 1.

         b) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et préciser les branches infinies de la courbe représentative (C) de f

         c) Étudier les variations de f.

             Démontrer que le point d'abscisse e est un point d'inflexion de (C).

         d) Tracer (C).

    1. Soit h la restriction de f à l'intervalle   

         a) Démontrer que h réalise une bijection de    vers un intervalle que l'on précisera.

         b) En déduire que h admet une fonction réciproque h^-1 dont on précisera le sens de variation.

             Tracer la courbe représentative de h^-1 .

B) 1. Déterminer le module et un argument du nombre complexe   

     2. Soit f l'application de C vers lui-même qui, à tout nombre complexe Z, associe :

          Montrer que f est bijective et déterminer le nombre    tel que : 

     3. Soit I, M et M' les points du plan complexe ayant pour affixes   ,    et     respectivement.

         On suppose M différent de I. Donner une mesure de l'angle      et calculer la distance     en fonction de la distance 

         On note F l'application qui à point M associe le point M'.

         Préciser la nature de F et ses éléments caractéristiques.

     4. Soit  A₀ le point d'affixe   .  On définit, pour tout entier naturel  , 

          On note A_n le point d'affixe  Z_{n dans le plan complexe.}

          Calculer en fonction de n, la distance  IA_{n. Quelle est  la limite bde cette distance quand n tend vers   .}