MATHS_SM_SE: BAC_TSM_2019

MEPU-A/SNESCO Baccalauréat Unique 2019

Profils: Sciences Mathématiques

Épreuve de : Mathématiques Coefficient : 4 Durée : 4 heures

Sujet :

Exercice 1 :

Les sujets d'entiers naturels $(x_n)$ et $(y_n)$ sont définies sur $\mathbb{N}$ par :

$x_0=3$ et $x_{n+1}=2x_n-1$

$y_0=1$ et $y_{n+1}=2y_n+3$

1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $x_n=2^{n+1}+1$

2) a) Calculer le $PGCD$ de $x_8$ et $x_9$ puis celui de $x_{2002}$ et $x_{2003}$ .

Que peut-on déduire pour $x_8$ et $x_9$ d'une part, pour $x_{2002}$ et $x_{2003}$ d'autre part?

b) $x_n$ et $x_{n+1}$ sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel $n$ ?

3) a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $2x_n-y_n=5$

b) Exprimer $y_n$ en fonction de $n$ .

c) En utilisant les congruences modulo $5$ , étudier suivant les valeurs de l'entier naturel $p$ le reste de la division euclidienne

$2^p$ par $5$

d) On note $d_n$ le $PGCD$ de $x_n$ et $y_n$ pour tout entier naturel $n$ .

Démontrer que l'on a $d_n=1$ ou $d_n=5$ ; en déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $x_n$ et $y_n$

soient premiers entre eux.

Exercice 2 :

A) Une urne contient $n$ boules blanches $($ $n$ $\in$ $\mathbb{N}$ $et$ $n$ $\geqslant$ $2$ $)$ , 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément

et au hasard deux boules de l'urne.

1) Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ?

2) On note $p(n)$ la probabilité de tirer deux boules de même couleur.

Montrer que $p(n)=\frac{n^2-n+26}{(n+8)(n+7)}$

B) Pour les questions suivantes , $n=4$

1) Calculer $p(4)$

2) Un tirages consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l'urne. Un joueur effectue deux tirages indépendants,

en remettant dans l'urne avant le second tirage les deux boules tirées la première fois.

il mise au départ la somme de 30 francs.

- Si les deux boules sont de même couleur il reçoit alors 40 francs ;

- Si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 francs ; on appelle gain du joueur la différence, à l'issue des deux

tirages, entre la somme perçue par le joueur et sa mise initiale ( ce gain peut être positif ou négatif ). On désigne par

$X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur.

a) Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?

b) Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

c) Calculer l'espérance de $X$ .

Partie A :

La fonction g est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2e^x+2x-7$

1) Étudier les limites de g en $-\infty$ et en $+\infty$ .

2) Étudier le sens de variation de la fonction sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variation.

3) Justifier que l'équation $g(x)=0$ admet dans une solution unique $a$ tel que : $(0,940$ $<$ $a$ $<$ $0,9414$ $)$

Étudier le signe de g sur $\mathbb{R}$ .

Partie B :

La fonction f est définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x)=$ $(2x-5)(1-e^{-x})$ .

On note $(C)$ la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal $($ $o$ $,$ $\vec{i}$ $,$ $\vec{j}$ $)$

1) Étudier le signe de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2) Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ .

3) Calculer $f'(x)$ , ou $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ , et vérifier que $f(x)$ et $g(x)$ ont le même signe. Dresser

le tableau de variation de $f$ .

4) a) Démontrer l'égalité : $f(a)$ $=$ $\frac{(2a-5)^2}{2a-7}$

b) Étudier le sens de variation de la fonction.

$h$ $:$ $x$ $-$ $"-$ $\frac{(2a-5)^2}{2a-7}$ sur l'intervalle $]$ $-\infty$ ; $\frac{5}{2}$ $[$

En déduire, à partir de l'encadrement de $a$ obtenu dans la partie $A$ , un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $f(a)$ .

5) Démontrer que la droite $(D)$ , d'équation $y=2x-5$ , est asymptote à $(C)$ en $+\infty$ .

Préciser la position de $(C)$ par rapport à $(D)$ .

6) Tracer la droite $(D)$ et la courbe $(C)$ dans le repère $($ $o$ $,$ $\vec{i}$ $,$ $\vec{j}$ $)$ . (unité graphique 2cm)

Partie C :

À l'aide d'une intégration par parties, calculer en cm l'aire $A$ de la portion du plan délimitée par la courbe $(C)$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=\frac{5}{2}$ .

Partie D :

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on considère les points $A_n$ , $B_n$ et $C_n$ d'abscisse $n$ appartenant respectivement à l'axe des abscisses, à la droite $(D)$ et à la courbe $(C)$ ; soit $u_n$ le réel défini par $u_n=\frac{C_nB_n}{A_nB_n}$

1) Démontrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3, on a : $u_n=\frac{2n-5-f(n)}{2n-5}$

a) Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ?

b Calculer la limite de la suite $(u_n)$ . Pouvait-on prévoir ce résultat?

Modifié le: mardi 31 décembre 2019, 17:35

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