MAHATMA GANDHY TSM 2019

MÉNA :                                                  BACCALAURÉAT BLANC

IRÉ : CONAKRY                                     PROFIT : TERMINAL SCIENCES MATHÉMATIQUES

D.C.E : RATOMA                                    Épreuve de : Mathématique       Coeff : 4    Durée : 4h

École : MAHATMA GANDHY                   Sujet :

A -) Soit  f  définie sur  [0 ; 1]  par    

    1 -) Montrer que  f est continue sur  [0 ; 1] 

    2 -) Pour tout  x\in ]0 ; 1]  on pose I(x)=\int_{x}^{1}f(x)dt  ;  J(x)=\int_{x}^{1}\frac{f(t)}{t}dt  ;  et  K(x)=J(x^2)-J(x)

        a) Montrer que  K  est dérivable sur  ]0 ; 1]  et que  K'(x)=\frac{1}{x}(f(x)-2f'(x^2)) 

        b) Prouver que pour tout  x\in ]0 ; 1]f(x)-2f(x^2)=-xf(x)

        c) En déduire que pour tout  x\in ]0 ; 1[   I(x)=-\int_{x}^{x^2}\frac{t-1}{tln(t)}dt  (1)

        d) Calculer la dérivée de la fonction  t\rightarrow{ln(-ln(t))}  sur  ]0 ; 1[

             En déduire que pour tout  x  dans  ]0 ; 1[\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{t\ln{(t)}}=\ln{2}   (2)

    3 -) Prouver que pour tout élément  x  de  ]0 ; 1[  et tout élément  t  de  ]0 ; x[ ;   

          En déduire que pour tout élément   x  de  ]0 ; 1[  ;   

  4 -) a) À partir de 1), 2) et 3) déterminer de I(x) quand x tend vers 0.

        b) En déduire I(0).

cool Une variable aléatoire X prend les valeurs 1 ; -1 et 2 avec les probabilités respectives ea ; eb ; ec où a , b , c sont en progression arithmétique. On suppose que l'espérance mathématique E(X) de X est égale à 1.

  1) Calculer a , b , c et la variance V(X) de X.

  2) Soient A , B , C trois points d'abscisses respectives 1 ; -1 et 2 d'une droite de  (\Delta) .

    a) Calculer l'abscisse du point G barycentre de  {(A,1),(B,2),(C,4)}

    b) On pose      OÙ M est un point de  (\Delta). Montrer que \varphi(M)=V(X)

    c) Déterminer l'ensemble  (\Gamma)  des points M de  (\Delta)  tels que  \varphi(M)=3

C-) 1) Démontrer que :  V(X)  \in  ]0 , +\infty[  ;  x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x)<x

     2) En déduire la limite de la suite  (U_n)_{n\in{N^*}}  de terme général :

         U_n=(1+\frac{1}{n^2})(1+\frac{2}{n^2})...(1+\frac{k}{n^2})...(1+\frac{n-1}{n^2})

D-) Fonction

Partie A : On considère la fonction g définie sur l'intervalle   I=[-\frac{1}{2} ; +\infty[  par   g(x)=\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}

    1) Démontrer que pour tout t de I on a :  g'(t)=-\frac{t^3}{1+t} 

    2) Déduire de (1) que pour tout t de I on a :    

        Puis, en intégrant, démontrer que pour tout x de I on a :  

Partie B :

Soit  f  la fonction numérique définie sur   ]-1 ; +\infty[  par  :  

On note    la courbe représentative de  f  dans le plan muni d'un RON (O, i, j) (unité : 2cm)

  1) a) Vérifier que pour tout       et  ,  

      b) En utilisant l'inégalité trouvée en (A ; 2) démontrer que  f  est dérivable en 0 et déterminer que l'équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0.

      c)  f  est - elle continue en 0 ? Justifier votre réponse.

   2) Soit h la fonction définie sur  ]-1 ; +\infty[  par  h(x)=\frac{-x^2-2x}{1+x}+2\ln(1+x)

     a) Étudier le sens de variation de h. Calculer h(0) et en déduire le signe de h sur  ]-1 ; +\infty[.

     b) Démontrer que pour tout  x\in ]-1  ; 0[U]0 ; +\infty[   f'(x)=\frac{h(x)}{x^3}

     c) Dresser le tableau de variation de  f  en précisant les limites aux bornes de son ensemble de définition .

  3) Construire la courbe  (C)  et la tangente  (T) . Préciser les asymptotes à  (C).

  4) Calculer en cm2 l'aire  A(\lambda)  du domaine plan limité par les droites d'équation  x=1x=\lambda  "(\lambda  l'axe des abscisses et la courbe  (C).  Déterminer   \lim{A(\lambda)}

                                                                                                                                                                                                                                                                   

C -) 1) Combien de fois faut-il jeter un dé non pipé pour être sûr d'obtenir au moins une fois 6 à 50% ? à 90% , à 99%.

      2) Soit n un entier relatif , démontrer que si 11 ne divise pas (n-4) , alors (2n+3) et (n+7) sont premiers entre eux.

      3) Soit n un entier naturel non nul . On donne a=2n+3 et b=5n-2

          a) Montrer que tout diviseur commun de a et b est diviseur de 19.

          b) Déterminer les entiers naturels n tel que  PGCD(a , b)=19.

 

 

 

Modifié le: Thursday 1 August 2019, 08:12