MATHS_SM_SE: MAHATMA GANDHY TSM 2019

MÉNA : BACCALAURÉAT BLANC

IRÉ : CONAKRY PROFIT : TERMINAL SCIENCES MATHÉMATIQUES

D.C.E : RATOMA Épreuve de : Mathématique Coeff : 4 Durée : 4h

École : MAHATMA GANDHY Sujet :

A -) Soit $f$ définie sur $[0$ $;$ $1]$ par $x{\rightarrow} \left\{\begin{matrix} f(x)=0, si \ x=0 & & \\ f(x)=1,si \ x=1& & \\ f(x)=\frac{x-1}{lnx},si \ x\in]0;1[& & \end{matrix}\right.$

1 -) Montrer que $f$ est continue sur $[0$ $;$ $1]$

2 -) Pour tout $x\in$ $]0$ $;$ $1]$ on pose $I(x)=\int_{x}^{1}f(x)dt$ ; $J(x)=\int_{x}^{1}\frac{f(t)}{t}dt$ ; et $K(x)=J(x^2)-J(x)$

a) Montrer que $K$ est dérivable sur $]0$ $;$ $1]$ et que $K'(x)=\frac{1}{x}(f(x)-2f'(x^2))$

b) Prouver que pour tout $x\in$ $]0$ $;$ $1]$ , $f(x)-2f(x^2)=-xf(x)$

c) En déduire que pour tout $x\in$ $]0$ $;$ $1[$ $I(x)=-\int_{x}^{x^2}\frac{t-1}{tln(t)}dt$ $(1)$

d) Calculer la dérivée de la fonction $t\rightarrow{ln(-ln(t))}$ sur $]0$ $;$ $1[$

En déduire que pour tout $x$ dans $]0$ $;$ $1[$ ; $\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{t\ln{(t)}}=\ln{2}$ $(2)$

3 -) Prouver que pour tout élément $x$ de $]0$ $;$ $1[$ et tout élément $t$ de $]0$ $;$ $x[$ ; $0\leqslant -\frac{1}{\ln(t)}\leqslant-\frac{1}{\ln(x)}$

En déduire que pour tout élément $x$ de $]0$ $;$ $1[$ ; $0\leqslant\begin{vmatrix} \int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln(t)}dt \end{vmatrix}\leqslant\frac{-x}{\ln(x)}(3)$

4 -) a) À partir de 1), 2) et 3) déterminer de I(x) quand x tend vers 0.

b) En déduire I(0).

Une variable aléatoire X prend les valeurs 1 ; -1 et 2 avec les probabilités respectives e^a ; e^b ; e^c où a , b , c sont en progression arithmétique. On suppose que l'espérance mathématique E(X) de X est égale à 1.

1) Calculer a , b , c et la variance V(X) de X.

2) Soient A , B , C trois points d'abscisses respectives 1 ; -1 et 2 d'une droite de $(\Delta)$ .

a) Calculer l'abscisse du point G barycentre de {(A,1),(B,2),(C,4)}

b) On pose $\varphi(M)=\frac{1}{7}(MA^2+2MB^2+4MC^2)$ OÙ M est un point de $(\Delta)$ . Montrer que $\varphi(M)=V(X)$

c) Déterminer l'ensemble $(\Gamma)$ des points M de $(\Delta)$ tels que $\varphi(M)=3$

C-) 1) Démontrer que : $V(X)$ $\in$ $]0$ $,$ $+\infty$ $[$ ; $x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x)<x$

2) En déduire la limite de la suite $(U_n)_{n\in{N^*}}$ de terme général :

$U_n=(1+\frac{1}{n^2})(1+\frac{2}{n^2})...(1+\frac{k}{n^2})...(1+\frac{n-1}{n^2})$

D-) Fonction

Partie A : On considère la fonction g définie sur l'intervalle $I=[-\frac{1}{2}$ $;$ $+\infty[$ par $g(x)=\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}$

1) Démontrer que pour tout t de I on a : $g'(t)=-\frac{t^3}{1+t}$

2) Déduire de (1) que pour tout t de I on a : $\left\{\begin{matrix} -2t^3\leqslant{g'(t)}\leqslant{0}; si&t\geqslant{0} & \\ 0\leqslant{g'(t)}\leqslant{-2t^3};si&-\frac{1}{2}\leqslant{t}\leqslant{0} & \end{matrix}\right.$

Puis, en intégrant, démontrer que pour tout x de I on a : $-\frac{1}{2}x^4\leqslant{g(x)}\leqslant{0}$

Partie B :

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]-1$ $;$ $+\infty[$ par : $\left\{\begin{matrix} f(x)=\frac{x-\ln(1+x)}{x^2};si&x\neq{0} & \\ f(0)=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.$

On note $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un RON (O, i, j) (unité : 2cm)

1) a) Vérifier que pour tout $x\geqslant-\frac{1}{2}$ et $x\neq0$ , $f(x)=\frac{-g(x)}{x^2}+\frac{1}{2}-\frac{x}{3}$

b) En utilisant l'inégalité trouvée en (A ; 2) démontrer que $f$ est dérivable en 0 et déterminer que l'équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0.

c) $f$ est - elle continue en 0 ? Justifier votre réponse.

2) Soit h la fonction définie sur $]-1$ $;$ $+\infty[$ par $h(x)=\frac{-x^2-2x}{1+x}+2\ln(1+x)$

a) Étudier le sens de variation de h. Calculer h(0) et en déduire le signe de h sur $]-1$ $;$ $+\infty[$ .

b) Démontrer que pour tout $x\in$ $]-1$ $;$ $0$ $[$ $U]$ $0$ $;$ $+\infty[$ $f'(x)=\frac{h(x)}{x^3}$

c) Dresser le tableau de variation de $f$ en précisant les limites aux bornes de son ensemble de définition .

3) Construire la courbe $(C)$ et la tangente $(T)$ . Préciser les asymptotes à $(C)$ .

4) Calculer en cm² l'aire $A(\lambda)$ du domaine plan limité par les droites d'équation $x=1$ , $x=\lambda$ $"(\lambda$ l'axe des abscisses et la courbe $(C)$ . Déterminer $\lim{A(\lambda)}$

$\lambda\rightarrow +\infty$

C -) 1) Combien de fois faut-il jeter un dé non pipé pour être sûr d'obtenir au moins une fois 6 à 50% ? à 90% , à 99%.

2) Soit n un entier relatif , démontrer que si 11 ne divise pas (n-4) , alors (2n+3) et (n+7) sont premiers entre eux.

3) Soit n un entier naturel non nul . On donne a=2n+3 et b=5n-2

a) Montrer que tout diviseur commun de a et b est diviseur de 19.

b) Déterminer les entiers naturels n tel que PGCD(a , b)=19.

Modifié le: jeudi 1 août 2019, 08:12

Activités du cours