BAC_TSM_ 2013

MEPU-A                                                BACCALAURÉAT UNIQUE                    SESSION : 2013

S.N.E.C.S.O                                         

PROFIL : Sciences Mathématiques         Épreuve de : MATHÉMATIQUES         Durée : 2 heures      Coefficient : 4

                                                               Sujet :

Exercice 1 :

1. On considère l'équation    où    est un couple de nombres entiers relatifs

    Donner une solution particulière de l'équation (E) et résoudre l'équation (E).

2. Soit N un nombre naturel  tel qu'il existe un couple (a ; b) de nombres entiers vérifiant :

       

    a) Quel est le reste, dans la division de N par 40 ?

3. Résoudre l'équation :     

 Exercice 2 :

On considère dans le plans, un triangle ABC rectangle en A tel que AB=2a et AC=a où a est un nombre réel strictement positif donné.

  1.a) Déterminer et construire le barycentre G des points pondérés (A ; 1) , (B ; -1)  et (C ; 1).

     b) Déterminer et construire l'ensemble (C) des points du plan tels que :  

  2. Soit H le point du plan défini par :  

      Démontrer que le point H est le barycentre des points pondérés (A ; 3), (B ; 1) et (C ; -2)

Problème :

On considère la fonction f définie par :

    si    et 

On appelle (C) la courbe représentative de f dans le plan muni du repère orthonormé  .

  A-) On considère la fonction numérique g définie sur    par : 

    1. Calculer les limites respectives de g à droite en    et en  .

    2. On admet que la fonction g est dérivable sur     et on note g' sa dérivée.

        Déterminer g' et étudier son signe.

        En déduire le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.

        Vérifier que g(1)=0

    3. Démontrer qu'il existe un unique réel      et 

    4. Déduire des questions précédentes le signe    suivant les valeurs de  .

On considère la fonction numérique  h définie et dérivable sur    par  ; 

    1. Démontrer que     et  

    2. On considère la suite    définie par :

           

           a) Démontrer que :        ,   

           b) Calculer l'arrondi d'ordre 3 de  .

               Démontrer que par récurrence que la suite    est croissante.

           c) En déduire que la suite     est convergent.

               (On admettra que la suite      converge vers la valeur    précédente et on prendra   )

C-1) Démontrer que la fonction f est continue à droite en 0 ?

    2. La fonction f est-elle dérivable à droite en 0 ?

        Justifier votre réponse. En donner une interprétation graphique.

    3. Calculer la limite de f(x) quand x tend vers  .

    4. Calculer la limite de    quand x tend vers   ,  puis interpréter graphiquement ce résultat.

    5. La fonction f est dérivable sur     et on note f' sa dérivée.

        Démontrer que : 

    6. En utilisant les résultats de A, déterminer le signe de f' et dresser le tableau de variation de f.

        Tracer la courbe (C).

    7. Soit t un nombre réel tel que : 0 < t < 1.

        En utilisant une intégration par parties, calculer l'aire A(t) de la partie du plan comprise entre la courbe (C), la droite d'équations

        X=t et X=1. Calculer la limite de A(t) quand t tend vers 0