BAC _TSM _2015

MEPU-A                                                 BACCALAURÉAT UNIQUE              Session : 2015

SNECSO                                               Épreuve de : Maths      Durée: 2 heures        Coefficient : 4

Profil : Sciences Expérimentales            Sujet :

Exercices 1

1) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, on a :

    

2) Démontrer que pour tout entier naturel  n : 10^{9n+2}+10^{6n+1} est divisible par 111.

3-a) Décomposer 469 en produit de facteurs premiers.

   b) Résoudre dans  N^2  l'équation :  x^3-y^3=469

Exercice 2

Le plan complexe est muni du repère orthonormé  (o,\vec{u},\vec{v}) direct.

Soit z\in\mathbb{C}  OÙ  \mathbb{C}  désigne l'ensemble des nombres complexes. Posons

Z=x+iy, x et y réels.

1) Soit  M(z) un point du plan complexe et  M'(z') l'image de M par la rotation de centre o et d'angle \theta. Exprimer z' en

    fonction de z et \theta.

2) On considère dans  \mathbb{C}  l'équation (E) d'inconnue Z qui suit,

     (E) : \frac{1}{2}z^2+4z\sqrt{3}+32=0

Résoudre l'équation (E)

3) On considère les points A et B d'affixes respectives  a=-4\sqrt{3}-4i  et  b=a=-4\sqrt{3}+4i

    Calculer  OA, OB et AB. En déduire la nature du triangle OAB.

4) On désigne par  \mathbb{C}  le point d'affixe  c=\sqrt{3}+i  et par D son image par la rotation de centre O et d'angle  \frac{\pi}{3}. Déterminer

    l'affixe du point D.

5) On appelle G le barycentre des points pondérés (0 ; 1) ; (D ; -1) et (B ; -1).

    a) Montrer que le point G a pour affixe  q=-4\sqrt{3}+6i

    b) Placer les points A, B, C et G sur une figure (unité graphique 1cm)

6) Déterminer une mesure en radians de l'angle  (\widehat{GA}, \widehat{GC}).

     En déduire  la nature  du triangle GAC.

PROBLÈME

Partie A

Soit la fonction numérique dérivable sur  ]0;+\infty[ par :

  g(x)=\frac{zx+1}{x^2}+lnx

1-a) Calculer \lim_{x\rightarrow{+\infty}}g(x)  b) Calculer  \lim_{x\rightarrow{O^+}}g(x)

2-a) Démontrer que :  \forall x \in]0;+\infty[g'(x)=\frac{x^2+2x+2}{x^3}

   b) En déduire le sens de variation de g.

   c) Dresser le tableau de variation de la fonction g.

3-a) Démontrer que l'équation  g(x)=0\forall x \in ]0;+\infty[ admet une solution unique.

   b) Justifier que 2,55 < a < 2,56

   c) Démontrer que :   

Partie B

On considère la fonction f dérivable sur  ]0;+\infty[ et définie par :

f(x)=(\frac{1}{x}-lnx)e^{-x}

On note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé  (o,\vec{i},\vec{j}).

(unité graphique : OI = 2cm et OJ = 10 cm).

1-a) Calculer   "\lim_{x\rightarrow0^ puis donner une interprétation graphique du résultat.

  -b) Calculer  \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) puis donner une interprétation graphique du résultat.

2- Démontrer que :  f(x)=-\frac{1+a}{a^2}e^{-a}

3-a) Démontrer que :  \forall{x}\in]0;+\infty[,f'(x)=e^{-a}\time g(x)

   b) En utilisant la partie A, déterminer les variations de f.

   c) Dresser le tableau de variation de f.

4- Démontrer qu'une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 1 est  y=-\frac{3}{e}+\frac{4}{e}

5- Construire (T) et la courbe (C) dans le plan muni du repère  (0,\vec{i},\vec{j}). On prend a= 2,6cm.

Partie C

Soit h la fonction dérivable sur  ]0,+\infty[  et définie par :  h(x)=e^{-x}lnx

Démontrer que h est une primitive de sur  ]0;+\infty[.

Soit  \gammaun nombre réel tel \gamma".

   a) Calculer; en cm2 et en fonction \gamma , l'aire A (\gamma) de la partie du plan comprise entre (C), (OI) et les droites d'équation     

        x=3 et x=\gamma.

      Calculer  \lim_{\gamma\rightarrow+\infty}A(\gamma)

Modifié le: Tuesday 31 December 2019, 17:33