MATHS_SM_SE: BAC _TSM _2015

MEPU-A BACCALAURÉAT UNIQUE Session : 2015

SNECSO Épreuve de : Maths Durée: 2 heures Coefficient : 4

Profil : Sciences Expérimentales Sujet :

Exercices 1

1) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, on a :

$\sum_{k=1}^{n}k(n-k)=\frac{(n-1)n(n+1)}{6}$

2) Démontrer que pour tout entier naturel n : $10^{9n+2}+10^{6n+1}$ est divisible par 111.

3-a) Décomposer 469 en produit de facteurs premiers.

b) Résoudre dans $N^2$ l'équation : $x^3-y^3=469$

Exercice 2

Le plan complexe est muni du repère orthonormé $(o,\vec{u},\vec{v})$ direct.

Soit $z\in\mathbb{C}$ OÙ $\mathbb{C}$ désigne l'ensemble des nombres complexes. Posons

$Z=x+iy$ , $x$ et $y$ réels.

1) Soit $M(z)$ un point du plan complexe et $M'(z')$ l'image de M par la rotation de centre o et d'angle $\theta$ . Exprimer $z'$ en

fonction de $z$ et $\theta$ .

2) On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation (E) d'inconnue Z qui suit,

(E) : $\frac{1}{2}z^2+4z\sqrt{3}+32=0$

Résoudre l'équation (E)

3) On considère les points A et B d'affixes respectives $a=-4\sqrt{3}-4i$ et $b=a=-4\sqrt{3}+4i$

Calculer OA, OB et AB. En déduire la nature du triangle OAB.

4) On désigne par $\mathbb{C}$ le point d'affixe $c=\sqrt{3}+i$ et par D son image par la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{3}$ . Déterminer

l'affixe du point D.

5) On appelle G le barycentre des points pondérés (0 ; 1) ; (D ; -1) et (B ; -1).

a) Montrer que le point G a pour affixe $q=-4\sqrt{3}+6i$

b) Placer les points A, B, C et G sur une figure (unité graphique 1cm)

6) Déterminer une mesure en radians de l'angle $($ $\widehat{GA}$ , $\widehat{GC})$ .

En déduire la nature du triangle GAC.

PROBLÈME

Partie A

Soit la fonction numérique dérivable sur $]0;+\infty[$ par :

$g(x)=\frac{zx+1}{x^2}+lnx$

1-a) Calculer $\lim_{x\rightarrow{+\infty}}g(x)$ b) Calculer $\lim_{x\rightarrow{O^+}}g(x)$

2-a) Démontrer que : $\forall x \in]0;+\infty[$ , $g'(x)=\frac{x^2+2x+2}{x^3}$

b) En déduire le sens de variation de g.

c) Dresser le tableau de variation de la fonction g.

3-a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ , $\forall x \in ]0;+\infty[$ admet une solution unique.

b) Justifier que 2,55 < a < 2,56

c) Démontrer que : $\left\{\begin{matrix} \forall x \in ]a;+\infty[,g(x)<0 & \\ \forall x \in ]a;+\infty[,g(x)>0& \end{matrix}\right.$

Partie B

On considère la fonction f dérivable sur $]0;+\infty[$ et définie par :

$f(x)=(\frac{1}{x}-lnx)e^{-x}$

On note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé $(o,\vec{i},\vec{j})$ .

(unité graphique : OI = 2cm et OJ = 10 cm).

1-a) Calculer $"\lim_{x\rightarrow0^$ puis donner une interprétation graphique du résultat.

-b) Calculer $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ puis donner une interprétation graphique du résultat.

2- Démontrer que : $f(x)=-\frac{1+a}{a^2}e^{-a}$

3-a) Démontrer que : $\forall{x}\in]0;+\infty[,f'(x)=e^{-a}\time g(x)$

b) En utilisant la partie A, déterminer les variations de f.

c) Dresser le tableau de variation de f.

4- Démontrer qu'une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 1 est $y=-\frac{3}{e}+\frac{4}{e}$

5- Construire (T) et la courbe (C) dans le plan muni du repère $(0,\vec{i},\vec{j})$ . On prend a= 2,6cm.

Partie C

Soit h la fonction dérivable sur $]0,+\infty[$ et définie par : $h(x)=e^{-x}lnx$

Démontrer que h est une primitive de sur $]0;+\infty[$ .

Soit $\gamma$ un nombre réel tel $\gamma$ $"$ .

a) Calculer; en cm² et en fonction $\gamma$ , l'aire A ( $\gamma$ ) de la partie du plan comprise entre (C), (OI) et les droites d'équation

x=3 et x= $\gamma$ .

Calculer $\lim_{\gamma\rightarrow+\infty}A(\gamma)$

Modifié le: mardi 31 décembre 2019, 17:33

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