MEPU-A                                                   BACCALAURÉAT UNIQUE          SESSION : 2014

SNECSO                                                  Épreuve de : Maths             Durée : 4 heures     Coefficient :

                                                                 Sujet

Exercices

A) On considère les trois entiers naturels a, b, c qui s'écrivent dans la base n : a=111 , b=114 , c=13054

    1. Sachant que c=ab, déterminer n, puis l'écriture de chacun des nombres a, b, c dans le système décimal.

    2. Vérifier, en utilisant l'algorithme d'Euclide, que a et b sont premiers entre eux, En déduire les solutions dans Z^2 de l'équation

        ax+by=1.

B) Une variable aléatoire X prend les valeurs 1 ; -1 et 2 avec les probabilités respectives  e^a , e^b , e^c où a , b , c sont en

     progression arithmétique.

     On suppose que l'espérance mathématique  E(X) de X est égal à 1.

    1. Calculer a, b, c et la variance  V(X) de X.

    2. Soit A, B, C trois points d'abscisses respectives 1 ; -1 et 2 d'une droite graduée (\Delta).

        a) Calculer l'abscisse du point G barycentre de { (A ; 1), (B ; 2), (C ; 4).

        b) On pose : \varphi(M)=\frac{1}{7}(MA^2+2MB^2+4MC^2) où  M est un point  de (\Delta).

            Montrer que  \varphi(M)=V(X).

        c) Déterminer l'ensemble  (\Gamma) des points M de  (\Delta) tels que  \varphi(M)=3.

Problème

Partie A

On considère la fonction g dérivable sur R et définie par :

g(x)=(1-x)e^{1-x}-1

    1.a) Justifier que la limite de g en +\infty  est -1

       b) Déterminer la limite de g en  -\infty

    2.a) Démontrer que pour tout x élément de R,  g'(x)=(x-2)e^{1-x}

       b) Étudier les variations de g et dresser son tableau de variation.

    3.a) Démontrer que l'équation  x\in{R}, g(x)=0  admet une solution unique \alpha.

           En déduire que :

       \forall x    "\in]-\infty;\alpha[,

         \forall x  \in]\alpha;+\infty[,g(x)<0

Partie B

On considère la fonction f dérivable sur R et définie par : f(x)=xe^{1-x}-x+2

On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormé  (o,\vec{i},\vec{j}). l'unité graphique est 2cm.

    1. Déterminer les limites de f en +\infty et en  -\infty.

    2.a) Démontrer que f est une primitive de g.

       b) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

    3.a) Démontrer que la droite (D) d'équation  y=-x+2 est une asymptote oblique à (C) en +\infty

Modifié le: mardi 31 décembre 2019, 17:31