MATHS_SM_SE: BAC_TSM_ 2017

MEPU-A BACCALAURÉAT UNIQUE SESSION: 2017

SNECSO

PROFIL: SCIENCES MATHÉMATIQUES ÉPREUVE DE : MATHS DURÉE : 2 heures Coefficient : 4

Sujet

Exercice 1 : (4 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $R_+$ par $f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$

1) Déterminer une primitive de $f$ sur $R_+$

2) Soit la suite $(U_n)$ définie par $n> 0$ par : $U_n=\int_{\ln(n)}^{\ln(n+1)}f(x)dx$ . Exprimer $U_n$ en fonction de $n$

3) Montrer que $(U_n)$ est une suite décroissante positive . Que peut-on en déduire ? Calculer la limite de $U_n$ lorsque $n$

tend vers $+\infty$ .

4) On pose : $S_n=U_1+U_2+...+U_n$

a) Calculer $S_1$ , $S_2$ et $S_3$ . Exprimer $S_n$ en fonction de $n$

b) Calculer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ .

Exercice 2 : (4 points)

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs 1 ; -1 et 2 avec les probabilités respectives

$e^{\alpha}$ , $e^{\beta}$ , $e^{\gamma}$ , où $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ sont en progression arithmétique.

On suppose que l'espérance mathématique $E(X)$ de $X$ est égal à 1.

1) Calculer $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ et la variance $V(X)$ de $X$

2) Soient $A$ , $B$ , $C$ trois points d'abscisse respectives 1 ; -1 et 2 d'une droite graduée $(\Delta)$ .

a) Calculer l'abscisse du point $G$ barycentre de ${(A , 1),(B , 2),(C , 4)}$

b) On pose ; $\varphi(M)=\frac{1}{7}(MA^2+2MB^2+4MC^2)$ où $M$ est un point de $(\Delta)$ . Montrer que $\varphi(G)=V(X)$

c) Déterminer l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ tels que $\varphi(M)=3$

Problème: (12 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie par $R$ par $f(x)=e^-^{x}\ln(1+e^x)$ . On note $(C)$ sa courbe représentative

dans le plan rapporté au repère orthogonal $(O,\vec{i},\vec{j})$ . L'unité graphique est 1 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées.

1) a) On rappelle que $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$ . Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$

b) Vérifier que pour tout réel $x:f(x)=\frac{x}{e^x}+e^-^x\ln(1+e^-^x)$ . Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$

c) En déduire que la courbe $(C)$ admet deux asymptotes que l'on précisera.

2) On considère la fonction g définie sur l'intervalle $]-1 ; +\infty[$ par $g(t)=\frac{t}{1+t}-\ln(1+t)$

a) Démontrer que la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle $[0;+\infty[$

b) En déduire le signe $g(t)$ lorsque $t> 0$ .

3) Calculer $f'(x)$ et l'exprimer en fonction de $g(e^x)$ , $f'$ désignant la fonction dérivée de $f$ .

En déduire le sens de variation de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variation.

4) Tracer les asymptotes à la courbe $(C)$ et la courbe $(C)$ .

Partie B

Soit la $F$ la fonction définie sur $R$ par : $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$

1) Étudier le sens de variation de la fonction $F$

2) Vérifier que, pour tout nombre réel $t$ , $\frac{1}{1+e^t}=1-\frac{e^x}{1+e^t}$ et calculer $\int_{0}^{x}\frac{dt}{1+e^t}$

a) En déduire , à l'aide d'une intégration par parties, le calcul de $F(x)$

b) Vérifier que $F(x)$ peut s'écrire sous les formes suivantes :

$F(x)=x-\ln(1+e^x)-f(x)+2\ln{2}$ $(1)$

$F(x)=\ln(\frac{e^x}{1+e^x})-f(x)+2ln2$ $(2)$

3) Déterminer $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} F(x).$ .

4) Déterminer $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (F(x)-x)$ . Donner une interprétation graphique de ce résultat.

On donne : $ln2\approx 0,69$ .

Last modified: Sunday, 7 June 2020, 6:23 PM