MATHS_SM_SE: MAHATMA GANDY TSM AVRIL 2019

MÉNA PROFIL: TSM

IRÉ: CONAKRY MATIÈRE: MATHS

D.C.E: RATOMA DURÉE: 4h

ÉCOLE: MAHATMA GANDY SUJET

A- ARITHMÉTIQUE

I- Pour tout entier naturel $n\geqslant{5}$ , on considère les nombres $a=n^3-n^2-12n$ et $b=2n^2-7n-4$

1) Montrer, après factorisation, que $a$ et $b$ sont des entiers naturels divisibles par $n-4$

2) On pose $\al$ $=2n+1$ et $\beta=n+3$ on note $d$ le $PGCD$ de $\al$ et $\beta$ .

a) Établir une relation entre $\al$ et $\beta$ indépendante de $n$ .

b) Démontrer que $d$ est un diviseur de $5$ .

c) Démontrer que les nombres $\al$ et $\beta$ sont multiples de $5$ si et seulement si $n-2$ est multiple de $5$ .

3) Montrer que $2n+1$ et $n$ sont premiers entre eux.

4) a) Déterminer, suivant les valeurs de $n$ et en fonction de $n$ le $PGCD$ de $a$ et $b$

b) Vérifier les résultats obtenus dans le cas particuliers $n=11$ et $n=12$

II- Démontrer que pour $n$ non nul :

a) $\sum _{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}$ ; b) $\sum _{k=1}^{n}k2^{k-1}=(n-1)2^n+1$ ; c) Résoudre dans $Z \left\{\begin{matrix} 3x\equiv 1[5] & \\ 5x\equiv 2[7]& \end{matrix}\right.$

B- GÉOMÉTRIE

Soit ABC un triangle équilatéral que $AB=a(a\succ 0)$

1) Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ du plan tels que $2MA^2-MB^2-MC^2=a^2$

2) a) Construire le barycentre $G$ des points pondérés $(A,-1),(B,4)$ et $(C,1)$

b) Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $-MA^2+4MB^2+MC^2=\frac{a^2}{2}$

C- ANALYSE

On donne $\left\{\begin{matrix} f(x)=e^x(1-x\ln|x|); si x\neq 0 & \\ f(0)=1& \end{matrix}\right.$

1) Déterminer l'ensemble de définition $Df$ .

2) On rappelle que $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{1}=1$ , étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en $x_0$ $=0$

3) Étudier les variations de $f$ et dresser le tableau de variation

4) a) Étudier les branches infinies de la courbe $cf$ .

b) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\al$ $\in ]1;2[$

c) Tracer la courbe $cf$ dans un RON (O,i,j)

5) On considère l'équation $(E)$ ; $|x|=e^{\frac{1-me^^{-x}}{x}}$ où $m\in{\mathbb{R}}$

a) Démontrer que $(E)\Leftrightarrow$ $f(x)=m$

b) Déterminer suivant les valeurs de $m$ le nombre de solution de l'équation $(E)$ .

6) Soit g la restriction de $f$ à $]-\infty;1]$ .

a) Montrer que g admet une fonction réciproque g^-1

b) Tracer la courbe $Cg^{-1}$ dans le RON ( O, i, j ).

D- INTÉGRALE

1) Trouver trois réels $a$ , $b$ et $c$ tels que : $\frac{x}{x(x^2+1}=\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{x^2+1}$

2) Calculer les intégrales $I=\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{dx}{x(x^2+1}$ et $J=\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{xlnx}{x(x^2+1)}dx$ .

M. Abdoulaye Korka Diallo

Last modified: Thursday, 2 May 2019, 2:38 PM

Course Activities