MAHATMA GANDY TSM AVRIL 2019

MÉNA                                                     PROFIL: TSM

IRÉ: CONAKRY                                      MATIÈRE: MATHS

D.C.E: RATOMA                                      DURÉE: 4h

ÉCOLE: MAHATMA GANDY                    SUJET

A- ARITHMÉTIQUE

    I- Pour tout entier naturel , on considère les nombres  a=n^3-n^2-12n  et  b=2n^2-7n-4

      1) Montrer, après factorisation, que a et b  sont des entiers naturels divisibles par  n-4

      2) On pose \al=2n+1  et  \beta=n+3  on note d  le PGCD  de \al  et \beta.

        a) Établir une relation entre \al et \beta indépendante de n.

        b) Démontrer que d est un diviseur de 5.

        c) Démontrer que les nombres \al et \beta sont multiples de 5 si et seulement si n-2 est multiple de 5 .

      3) Montrer que 2n+1  et  n  sont premiers entre eux.

      4) a) Déterminer, suivant les valeurs de n et en fonction de n le PGCD de a et b 

          b) Vérifier les résultats obtenus dans le cas particuliers n=11  et  n=12

II- Démontrer que pour n  non nul :

        a)      ;  b)   ;  c)   Résoudre dans   

B- GÉOMÉTRIE

    Soit ABC un triangle équilatéral que

    1) Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que 2MA^2-MB^2-MC^2=a^2

    2) a) Construire le barycentre G des points pondérés  (A,-1),(B,4) et (C,1)

        b) Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que :  -MA^2+4MB^2+MC^2=\frac{a^2}{2}

C- ANALYSE

On donne 

    1) Déterminer l'ensemble de définition  Df.

    2) On rappelle que         , étudier la continuité et la dérivabilité de f en  x_0=0

    3) Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation

    4) a) Étudier les branches infinies de la courbe  cf.

        b) Démontrer que l'équation  f(x)=0 admet une solution unique  \al \in ]1;2[

        c) Tracer la courbe cf  dans un RON (O,i,j)

    5) On considère l'équation  (E)|x|=e^{\frac{1-me^^{-x}}{x}}m\in{\mathbb{R}}

        a) Démontrer que (E)\Leftrightarrow    f(x)=m

        b) Déterminer suivant les valeurs de m le nombre de solution de l'équation (E).

    6) Soit g la restriction de f  à  ]-\infty;1].

         a) Montrer que g admet une fonction réciproque g-1

         b) Tracer la courbe Cg^{-1}  dans le RON ( O, i, j ).

D- INTÉGRALE

    1) Trouver trois réels a b  et   c  tels que :  \frac{x}{x(x^2+1}=\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{x^2+1}

    2) Calculer les intégrales    et  .

                                                                                            M. Abdoulaye Korka Diallo

Modifié le: Thursday 2 May 2019, 14:38