MATHS_SM_SE: MAHATMA GANDY MINI-ÉXAMEN FÉVRIER TSM 2019

IRÉ: CONAKRY PROFIL: TSM

DCE: RATOMA MATIÈRE: MATHS

ÉCOLE: MAHATMA GANDY SUJET:

A-) Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie.

Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1) Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $(o;\vec{u},\vec{v})$ . On considère la transformation du plan qui à tout point d'affixe $z$ associe le point $z'$ définie par :

$z'=2iz+1$

Proposition 1: << Cette transformation est la similitude directe de centre $A$ d'affixe $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$ , d'angle $\frac{\pi}{2}$ et de rapport $2$ >> .

2) Dans l'espace muni du repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , on note $S$ la surface d'équation $z=x^2+2x+y^2+1$ .

Proposition 2: << la section de $S$ avec le plan d'équation $z=5$ est un cercle de centre $A$ de coordonnées $(-1;0;5)$ et de rayon $5$ >> .

3) Proposition 3: << $5^{750}-1$ est un multiple de $7$ >> .

4) Proposition 4: << Si un entier naturel $n$ est congru à $1$ modulo $7$ , alors le $PGCD$ de $3n+4$ et de $4n+3$ est égal à $7$ >> .

5) Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels.

Proposition 5: << S'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=2$ , alors le $PGCD$ de $a$ et $b$ est égal à $2$ >> .

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la question choisie.

Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0,5 points, Une absence est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n'est demandée.

1) On considère dans l'ensemble des entiers relatifs l'équation: $x^2-x+4\equiv{0}$ $(modulo,6)$ .

A: Toutes les solutions sont des entiers pairs.

B: Il n'y a aucune solution.

C: Les solutions vérifient $x\equiv{2}$ $(modulo6)$ .

D: Les solutions vérifient $x\equiv{2}$ $(modulo,6)$ ou $x\equiv{5}$ $(modulo,6)$ .

2) On se propose de résoudre l'équation $(E)$ : $24x+34y=2$ , où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

A: Les solutions de $(E)$ sont toutes de la forme : $(x;y)=(34k-7;5-24k)$ , $k$ $\in Z$ .

B: L'équation $(E)$ n'a aucune solution.

C: Les solutions de $(E)$ sont toutes de la forme : $(x;y)=(17k-7;5-12k),$ $k\in Z$ .

D: Les solutions de $(E)$ sont toutes de la forme : $(x;y)=(-7k;5k)$ , $k\in Z$

3) On considère les deux nombres $n=1789$ et $p=1789^{2005}$ . On a alors:

A: $n\equiv{4}(modulo17)$ et $p\equiv{0}(modulo17).$

B: $p$ est un nombre premier.

C: $p\equiv{4}(modulo17)$

D: $p\equiv{1}(modulo17)$

4) On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B d'affixes respectives $a$ et $b$ . Le triangle $MAB$ est rectangle isocèle direct d'hypoténuse $[AB]$ si et

seulement si le point M d'affixe $z$ est tel que:

$A:z=\frac{b-ia}{1-i};$ $B:z-a=e^i{\frac{\pi}{2}}(b-a);$ $C:a-z=i(b-z);$ $D:b-z=\frac{\pi}{2}(a-z)$

5) On considère dans le plan orienté deux points distincts $A$ et $B$ ; on note I le milieu du segment $[AB]$ . Soit $f$ la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d'angle $\frac{2\pi}{3}$ ;

Soit g la similitude directe de centre A, de rapport $\frac{1}{2}$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ ; soit h la symétrie centrale de centre 1.

A: $hog$ $of$ transforme A en B et c'est une rotation .

B: $hog$ $of$ est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment $[AB]$ .

C: $hog$ $of$ n'est pas une similitude.

D: $hog$ $of$ est la translation du vecteur $\vec{AB}$ .

Abdoulaye Korka Diallo

Modifié le: mercredi 17 avril 2019, 20:06