BILL CLINTON COMPOSITION Mars TSM 2019

IRÉ: CONAKRY                                      PROFIL: TSM

DCE: RATOMA                                       MATIÈRE: MATHS

ÉCOLE: BILL CLINTON                          SUJET

A- ARITHMÉTIQUE:

    1) Calculer la somme  S_K=1+10^2+10^4+.....+10^{2K}K\in\mathbb{N^*}.

    2) Exprimer le nombre qui s'écrit en base 10  \overline{ababab}  à l'aide du nombre  \overline{ab} et des puissances de 10.

    3) En déduire la somme  29+2929+202929+....+2929...29  n fois 29

B- SIMILITUDE:

    1) Calculer  J^3  et  1+j+j^2  avec  j=e^{i\frac{2\pi}{3}}

    2) Soit P, Q et R trois points distincts du plan d'affixe respective p, q et r. Montrer que PQR est équilatéral direct si et seulement si  p+qj+rj^2=0

        (on pourra utiliser la similitude qui envoie le triangle 1;J;J^2   sur  PQR).

C- GÉOMÉTRIE:

Dans le plan (P) on considère un triangle équilatéral ABC, on pose  ||\vec{AB}||=a"a.

Soit I le point du plan définie par   \vec{AI}=2\vec{CB}.

    1) Exprimer  IA^2;IB^2  et  IC^2  en fonction de  a

    2) Trouver un triplet  (\al;\beta;\gamma)  de réels tels que I soit barycentre du système

                             \begin{Bmatrix}
(A,\alpha);(B,\beta);(C,\gamma)
\end{Bmatrix}

    3) K étant un réel donné, chercher l'ensemble (\Gamma)  des points M du plan tels que:

                               MA^2+2MB^2-2MC^2=Ka^2

D- ANALYSE: On donne la fonction  \left\{\begin{matrix}
 f(x)=e^x(1-xln|x|)si&x\neq 0\\
 f(0)=1& 
\end{matrix}\right. 

    1) Déterminer l'ensemble de définition Df

    2) On rappelle que  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1.  Étudier la continuité et la dérivabilité de f  en  x_0=0.

    3) Étudier les variations de f  et dresser  son tableau de variation

    4- a) Étudier les branches infinies de la courbe  (Cf)

        b) Démontrer que l'équation  f(x)=0  admet une solution unique  \alpha\in]1;2[

        c) Tracer la courbe (Cf) dans un rond (o,\vec{i},\vec{j})

    5) On considère l'équation (E)  |x|=e^{\frac{1-me^^{-x}}{x}}m\in\mathbb{R}

        a) Démontrer que (E)\Leftrightarrow f(x)=m

        b) Déterminer suivant  les valeurs de m le nombre de solutions de l'équation (E)

    6) Soit g la restriction de  f à ]-\infty;1]

        a) Montrer que g admet une fonction réciproque g^{-1}

        b) Tracer la courbe Cg^{-1} dans le R.O.N (o,\vec{i},\vec{j})

        c) Donner une équation des tangentes à la courbe Cf au points d'abscisses  \frac{1}{e}; 1 et e

                                                                              M. Abdoulaye Korka Diallo

                           

Modifié le: Friday 12 April 2019, 17:30