IRÉ: CONAKRY                                     PROFIL: TSM

DCE: RATOMA                                       MATIÈRE: MATHS

ÉCOLE: BILL CLINTON                          SUJET:

A/  ARITHMÉTIQUES (AMÉRIQUE DU NORD, MAI 2002)

 

Soit (E) l'ensemble des entiers naturels écrits, en base 10, sous la force  \overline{abba}  où a est un chiffre supérieur ou égal

à 2 et  b est un chiffre quelconque. Exemples d'éléments de (E) : 2002; 3773; 9119. Les parties A et B peuvent être traitées séparément.

                        Partie A: Nombre d'éléments de (E) ayant 11 comme plus petit facteur premier.

1.   a. Décomposer 1001 en produit de facteurs premiers.

      b. Montrer que tout élément de (E) est divisible par 11.

2.   a. Quel est le nombre d'éléments de (E)?

      b. Quel est le nombre d'éléments de (E) qui ne sont ni divisibles par 2 ni par 5?

3. Soit n un élément de (E) s'écrivant sous la forme  \overline{abba}.

      a. Montrer que : << n est divisible par 3 >> équivaut à << a + b est divisible par 3 >>.

      b. Montrer que : << n est divisible par 7 >> équivaut à << b est divisible par 7 >>.

4. Déduire des questions précédentes le nombre d'éléments de (E) qui admettent 11 comme plus petit facteur premier.

                        Partie B: Étude des éléments de (E) correspondant à une année bissextile

Soit (F) l'ensemble des éléments de (E) qui correspondent à une année bissextile.

On admet que pour tout élément n de (F), il existe des entiers naturels p et q tels que:

                                                             n=2000+4p  et  n=2002+11q.

1. On considère l'équation (e) :  4p-11q=2  où  p   et  q sont des entiers relatifs.

    Vérifier que le couple (6;2) est solution de l'équation (e) puis résoudre l'équation (e).

2. En déduire que tout entier n de (F) peut s'écrire sous la forme 2024 + 44k où k est un entier relatif.

3. À l'aide de la calculatrice déterminer les six plus petits éléments de (F).

    NB: Liste des nombres premiers inférieurs à 40:

    2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 .

B/ NOMBRE COMPLEXE:

1) Montrer que: \cos{\frac{\pi}{11}}+\cos{\frac{3\pi}{11}}+\cos{\frac{5\pi}{11}}+\cos{\frac{7\pi}{11}}+\cos{\frac{9\pi}{11}}=\frac{1}{2}

    En déduire la valeur exacte de  \cos{\frac{2\pi}{11}}+\cos{\frac{4\pi}{11}}+\cos{\frac{6\pi}{11}}+\cos{\frac{8\pi}{11}}+\cos{\frac{10\pi}{11}}

2) Montrer que:  \cos^2{\frac{\pi}{14}}+\cos^2\frac{3\pi}{14}+\cos^2\frac{5\pi}{14}=\frac{7}{4}

    En déduire la valeur exacte de   \sin^2\frac{\pi}{14}+\sin^2\frac{3\pi}{14}+sin^2\frac{5\pi}{14}

C/ GÉOMÉTRIE:

I- Soit ABC un triangle.

    1) Construire les points I; J et K tels que:  \vec{BI}=\frac{3}{5}\vec{BC};  \vec{CJ}=\frac{1}{2}\vec{AC}  et  \vec{AK}=2\vec{AB}

    2) Démontrer que les droites ( AI ), ( BJ ) et  ( CK) sont concourantes.

II- Soit ABC un triangle, déterminer l'ensemble des points M

    tels que:  |\left \|2\vec{MA}-\vec{MB}+2\vec{MC} |\right \|=|\left \ | \vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC} |\right\|

               

                                                               M. ABDOULAYE KORKA DIALLO

                                

Modifié le: mardi 9 avril 2019, 19:40