République de Guinée                            Composition du 1er semestre 2019

M.E.N.A                                                  Épreuve: Mathématiques

I.R.É: Conakry                                        Niveau: T-SE

D.C.E: Dixinn                                       

École: Sainte Marie                                         Sujet:

Définir: Suites Adjacentes; Suites Récurrentes

I/ Soit (E) l'équation:  X^4-3X^3+(2-i)X^2+3X-3+i=0

1. Montrer que (E) admet des racines réelles.

2. Résoudre (E).

II/ On considère dans le plan muni d'un repère orthonormé (unité graphique 1 cm) la suite des points Mn (Zn) telle que   Z_0=5+4i  et   Z_{n+1}=\frac{1}{2}iZ_n+1-\frac{1}{2}i  ;  n\in\mathbb{N}  .

1.a. Représenter les points M0; M1; M2; M3; M4.

   b. Quelle est la nature de la transformation plane qui à M fait correspondre  M_{n+1} ? Préciser ces éléments caractéristiques.

2. On pose  T_n=z_n-z_{n-1}  ;  n\in\mathbb{N^*} . Montrer que  T_{n+1}=\frac{1}{2}iT_n  ;   n\in\mathbb{N}

3. On pose  d_n=|T_n|  et  L_n=\sum_{k=0}^{n}d_k.

   a. Déduire de 2. la nature de la suite  (dn). Exprimer alors dn et Ln en fonction de n.

  b. Déterminer la plus petite valeur de n telle que  L_n\geq12cm.

 c. Calculer  \lim_{x \to +\infty}L_n.

III/ Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin à 8h 00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport: Le vélo ou le bus.

     L'élève part tous les jours à 7h 40mn de son domicile et doit arriver à 8h 00mn à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.

    Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans 99,4% des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans 5% des cas.

   On choisit une date au hasard en période scolaire et on note V l'événement «L'élève se rend au lycée à vélo»; B l'évènement «l'élève se rend au lycée en bus» et R l'évènement «L'élève arrive en retard au lycée».

1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.

2. Déterminer la probabilité de l'évènement V\cap{R}.

3. Démontrer que la probabilité de l'évènement R est 0,0192.

4. Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus?

Last modified: Saturday, 23 February 2019, 5:57 PM