MATHS_SM_SE: SAINTE MARIE COMPOSITION DU 1er SEMESTRE T-SE 2019

République de Guinée Composition du 1^er semestre 2019

M.E.N.A Épreuve: Mathématiques

I.R.É: Conakry Niveau: T-SE

D.C.E: Dixinn

École: Sainte Marie Sujet:

Définir: Suites Adjacentes; Suites Récurrentes

I/ Soit (E) l'équation: $X^4-3X^3+(2-i)X^2+3X-3+i=0$

1. Montrer que (E) admet des racines réelles.

2. Résoudre (E).

II/ On considère dans le plan muni d'un repère orthonormé (unité graphique 1 cm) la suite des points Mn (Z_n) telle que $Z_0=5+4i$ et $Z_{n+1}=\frac{1}{2}iZ_n+1-\frac{1}{2}i$ ; $n\in\mathbb{N}$ .

1.a. Représenter les points M₀; M₁; M₂; M₃; M₄.

b. Quelle est la nature de la transformation plane qui à M fait correspondre $M_{n+1}$ ? Préciser ces éléments caractéristiques.

2. On pose $T_n=z_n-z_{n-1}$ ; $n\in\mathbb{N^*}$ . Montrer que $T_{n+1}=\frac{1}{2}iT_n$ ; $n\in\mathbb{N}$

3. On pose $d_n=|T_n|$ et $L_n=\sum_{k=0}^{n}d_k$ .

a. Déduire de 2. la nature de la suite (dn). Exprimer alors d_n et L_n en fonction de n.

b. Déterminer la plus petite valeur de n telle que $L_n\geq12cm$ .

c. Calculer $\lim_{x \to +\infty}$ $L_n$ .

III/ Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin à 8h 00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport: Le vélo ou le bus.

L'élève part tous les jours à 7h 40mn de son domicile et doit arriver à 8h 00mn à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.

Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans 99,4% des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans 5% des cas.

On choisit une date au hasard en période scolaire et on note V l'événement «L'élève se rend au lycée à vélo»; B l'évènement «l'élève se rend au lycée en bus» et R l'évènement «L'élève arrive en retard au lycée».

1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.

2. Déterminer la probabilité de l'évènement $V\cap{R}$ .

3. Démontrer que la probabilité de l'évènement R est 0,0192.

4. Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus?

Modifié le: samedi 23 février 2019, 17:57