MENA-SNESCO                                                          BACCALAURÉAT UNIQUE                      SESSION: 2018

PROFIL:SCIENCES MATHÉMATIQUES                       ÉPREUVE:MATHS             DURÉE: 4h   Coefficient: 4

SUJET:

Exo1: (05 points)

1)  a) Calculer  (1+\sqrt{6})^2  ;  (1+\sqrt{6})^4 ;  (1+\sqrt{6})^6.

     b) Appliquer l'algorithme d'Euclide à 847 et 342. Que peut-on en déduire?

2) Soit n un entier naturel non nul. On note an et bn les entiers naturels tels que:

                                          (1+\sqrt{6})^n=a_n+b_n\sqrt{6}

Que valent a1 et b1?

D'après les calculs de la question 1)  a), donner d'autres valeurs de an et bn.

   a) Calculer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn.

   b) Démontrer que, si 5 ne divise pas an + bn, alors 5 ne divise pas non plus an+1 + bn+1.

       En déduire que,  quelque soit n entier naturel non nul, 5 ne divise pas an + bn.

   c) Démontrer que, si an et bn sont premiers entre eux, alors an+1 et bn+1 sont premiers entre eux.

       En déduire que, quelque soit n entier naturel non nul, an et bn sont premiers entre eux.

Exo2: Le plan est muni du repère orthonormé (O,\vec{e_1},\vec{e_2}) .

À tout point M d'affixe z, on fait correspondre le point M' d'affixe z' telle que z = z2 - 4z.

  1) Calculer les coordonnées (X'; Y') du point M' en fonction des coordonnées (X; Y) du point M.

  2)  a) Démontrer que l'ensemble (H) des points M du plan tels que z soit un nombre imaginaire pur est une hyperbole.

       b) Préciser dans le repère   (O,\vec{e_1},\vec{e_2}) , les coordonnées du centre Ω, celles des sommets et les équations des asymptotes de (H).

 3) Soit  P le point d'affixe -\frac{5}{2}-2i

     Déterminer les points M du plan tels que le quadrilatère OMM'P soit parallélogramme.

PROBLÈMES (11 points)

Étude préliminaire:

On considère la fonction g définie sur  [0;+\infty[  par   g(x)=\ln(1+x)-x.

  1) Étudier le sens de variation de g.

  2) En dédure que pour tout réel a positif ou nul,  \ln(1+a)\leq a

PARTIE A:

On considère la fonction fk, définie sur   [0;+\infty[  par   f_1(x)=\ln(e^x+x)-x

 1) Calculer   f'_{1}(x)  pour tout réel x appartenant à l'intervalle  [0;+\infty[   et en déduire le sens de variation de la fonction f1.

 2) Montrer que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle  [0;+\infty[ ,   f_1(x)=\ln(1+\frac{x}{e^x}).

     En déduire la limite de f1 en +∞.

 3) Dresser le tableau de variation de f1.

PARTIE B:

On considère la fonction fk définie sur   [0;+\infty[  par  f_k(x)=\ln(e^x+kx)-x.

Soit (CK) la courbe représentative de la fonction fk dans le plan muni d'un repère orthogonal  (O,\vec{i},\vec{j}),  (unités graphiques: 5cm sur l'axe des abscisses et 10cm sur l'axe des ordonnées).

 1) Calculer     f'_k(x)  pour tout réel x appartenant à l'intervalle  [0;+\infty[  et en déduire le sens de variation de la fonction fk.

 2) Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle  [0;+\infty[  ,  f_k(x)=\ln(1+k\frac{x}{e^x}) .

     En déduire la limite de fk  en +∞ .

 3) a) Dresser le tableau de variation de fk.

     b) Montrer que pour tout réel x de  [0;+\infty[ , on a  f_x(x)\leq \frac{k}{e}

 4) Déterminer l'équation de la tangente (Tk) à (CK) au point O.

 5) Soit p et m deux réels strictement positifs tels que p < m.  Étudier la position relative de (CP) et (Cm).

 6) Tracer les courbes (C1) et (C2) ainsi que leurs tangentes respectives (T1) et (T2) en O.

PARTIE C:

Soit λ un réel strictement positif, on note A(λ) l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe (CK) et les droites d'équations x=0 et x=λ.

 1) Sans calculer A(λ), montrer que  A(\lambda)\leq k\int_{0}^{\lambda}xe^-^xdx  (on pourra utiliser le résultat de la question préliminaire).

 2) Calculer à l'aide d'une intégration par parties l'intégrale \int_{0}^{\lambda}xe^-^xdx 

 3) On admet que A(λ) admet une limite en +∞. Montrer que  \lim_{\lambda \to+\infty}A(\lambda)\leq k

     Interpréter graphiquement ce résultat.

    

         

Modifié le: mardi 31 décembre 2019, 17:26