SUJET CAK NOVEMBRE 2018

RÉPUBLIQUE DE GUINÉE                                 ÉVALUATION: MATHS                                          

MÉNA                                                                      PROFIL:TSM

IRÉ: CONAKRY

D.C.E: MATOTO

ÉCOLE: (CAK)

I/- 1) Le nombre 191 peut s'écrire comme différence des carrés de deux nombres entiers naturels m   et n. Quelles est la valeur maximale pour m.

    2) Soit k un nombre premier tel que: 11k + 1 soit le carré d'un entier.

II/- Un nombre K s'écrit: 2^α × 3β

     Le nombre de diviseurs de 12K est le double du nombre de diviseurs de K

  1) Montrer que l'on a: β(α - 1) = 4

  2) En déduire les trois valeurs possibles pour K.

III/- On considère x et y des entiers relatifs et l'équation:

      (E) 91x + 10y = 1.

  a) Déterminer une solution particulière de l'équation:

     (E^') 91x +10y = 412

  b) Résoudre l'équation (E')

  c) Montrer que les nombres entiers A_n = 3²ⁿ - 1, ou n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8.

  d) On considère l'équation (E'') A₃x + A₂y = 3296

   1. Déterminer les couples d'entiers relatifs (x ; y) solution de l'équation (E'')

   2. Montrer que (E'') admet pour solution un couple d'entiers naturels. Le déterminer

IV/- 1) Trouver suivant les valeurs de l'entier naturel n. Le reste de la division euclidienne de 4ⁿ par 7.

       2) Justifier que: 1999  4[7]

      3) En déduire le reste de la division euclidienne par 7 de 1999¹³²

     4) Soit l'entier A_k tel que:

         A_k = 123^k + 123^2k + 123^3k +123^4k + 123^5k

        Discuter, suivant les valeurs de l'entier naturel k, le reste de la division euclidienne de A_k par 7

                                                                                                                                              M. Sénégalais